NILAI OPTIMUM (PROGRAM LINEAR)

PROGRAM LINEAR

Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan

Nilai optimum merupakan nilai yang diperoleh dari hasil perhitungan yang ditentukan nilai maksimum atau minimumnya dari bentuk fungsi f(x) = ax + by

Langkah- langkah menentukan nilai optimum

1.      Merumuskan persoalaan kedalam model matematika

2.      Menggambar daerah yang memenuhi suatu sistem pertidaksamaan

3.      Menganalisis nilai fungsi objektif, dengan menggunakan analisis metode uji titik pojok

Contoh

   Seorang pedagang sepatu mempunyai modal Rp 8.000.000,00. Ia merencanakan membeli dua jenis sepatu, sepatu pria dan sepatu wanita. Harga beli sepatu pria adalah Rp 20.000,00 per pasang. dan harga beli sepatu wanita adalah Rp 16.000,00 per pasang. Keuntungan dari penjualan sepatu pria dan wanita berturut-turut adalah Rp Rp 6000,00 dan Rp 5.000,00. Mengingat kapasitas kiosnya terbatas, ia hanya akan membeli sebanyak-banyaknya 450 pasang sepatu. Buatlah model matematika yang sesuai dengan persoalaan ini.

Penyelesaian:

1.             Merumuskan persoalaan kedalam model matematika

Misal banyaknya sepatu pria = x dan banyaknya sepatu wanita = y

	Sepatu pria	sepatu wanita	kapasitas/modal
Banyaknya	x	y	450
harga beli	20.000x	16.000y	8.000.000
keuntungan	6.000x	5.000y

Karena kapasitas kios tidak lebih dari 450 pasang sepatu dan pedagang hanya memiliki modal Rp 8.000.000,00 maka pertidaksamaannya:

·         x + y ≤ 450

·         20.000x + 16.000y ≤ 8.000.000

                  5x + 4y ≤ 2.000

Karena banyak x dan y merupakan banyak sepatu maka tidak mungkin bernilai negatif atau pecahan, sehingga x dan y merupakan bilangan cacah C. Dengan demikian pertidaksamaannya adalah x ≥ 0, y ≥ 0, dan x, y ϵ C.

Jadi model matematika dari persoalaan diatas adalah:

x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 450  dan  5x + 4y ≤ 2.000 , untuk x, y ϵ C dengan keuntungan sebesar-besarnya diperoleh dari bentuk (6.000x + 5.000y)

2.        Menggambar daerah yang memenuhi suatu sistem pertidaksamaan

       ·        Menentukan titik potong sumbu x dan y

x + y ≤ 450				5x + 4y ≤ 2.000
x	0	450		x	0	400
y	450	0		y	500	0
(x,y)	(0,450)	(450,0)		(x,y)	(0,500)	(400,0)

        ·           Menggambar grafik

 

 3.             Menganalisis nilai fungsi objektif 

Berdasarkan grafik titik pojok daerah himpunan penyelesaian adalah (0,0), (400,0), (200,250), (0,450)      ,. Selanjutnya titik-titik tersebut diujikan pada fungsi objektif sebagai berikut :

Titik pojok	6000x + 5000y	Nilai
(0,0)	6000 . 0  + 5000 . 0	0
(400,0)	6000. 400 + 5000 .0	2 400 000
(200,250)	6000 . 200 + 5000 . 250	2 450 000 max
(0,450)	6000 .0 + 5000 . 450	2 250 000

 Jadi keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah 2. 450.000,00 yaitu dengan membeli sepatu pria sebanyak 200 pasang dan sepatu wanita sebanyak 250 pasang.